Новые статьи

Как устроена и работает светодиодная люстра с дистанционным пультом: опыт ремонта своими руками
Как выбрать лампы освещения для дома
Как прозвонить электрическую цепь тестером, мультиметром

Способы расчетов схем синусоидальных токов с помощью законов Кирхгофа


Теоретическая электротехника





Мгновенные значения синусоидальных гармоник токов, ЭДС и напряжений удобно рассчитывать, используя знания законов Кирхгофа.

Первый закон определяет равенство нулю алгебраической суммы всех величин токов в точке узла для любого момента времени, а второй — всех величин ЭДС и напряжений на всех участках для замкнутого контура в любой момент времени. Они выражаются математически:

Математическое выражение суммы токов

n - количество ветвей электрической цепи, m - количество ветвей, образующих контур цепи.

Синусоидальные гармоники токов, ЭДС и напряжений являются функциями времени, выражаются в декартовых координатах проекциями векторных величин на координатные оси. Вектора можно записывать комплексными числами. При сложении векторных величин производится сложение их проекций. Формулы для сложения:

Формулы сложения векторных величин

Для проведения расчетов в цепях синусоидальных гармоник можно пользоваться одним из трех методов:

1. Применять способы векторных диаграмм;
2. Использовать для определения неизвестных величин приведенные ранее формулы Кирхгофа;
3. Выбирать для расчетов преобразования уравнений в комплексных чисел для символического метода.


1-й вариант расчета сходящихся в одном узле трех ветвей с двумя известными гармониками методом сложения:

   i1=5sin(ωt+24O) A;
   i2=3sin(ωt+116O) A.

Узел электрической цепи из трех ветвейТретий ток i1 нам не известен, его значение следует определить и записать выражением.

Решаем задачу следующей последовательностью действий:

   i3=i1+i2=5sin(ωt+24O)+3sin(ωt+116O)=I3msin(ωt+Ψ3).

Синусоидальные гармоники с одной частотой при суммировании дадут синусоиду такой же частоты, а значение ее амплитуды с начальной фазой рассчитываются по математическим законам:

   I3m=√[I1m2+I2m2+2I1mI2mcos(Ψ12)]= √[52+32+2∙5∙3∙cos(24-116)]=5,74.
   tgΨ3=(I1msinΨ1+I2msinΨ2)/(I1mcosΨ1+I2mcosΨ2)=(5sin24+3sin116)/(5cos24+3cos116)=1,454, Ψ3=55,5°.

Получаем: i3=5,74∙sin(ωt+55,5).


2-й способ определения посредством использования операций с векторами. По выражениям 1-го закона Кирхгофа имеем:

   Ī3m1m2m.

В декартовых координатах выстраиваем вектора Ī1m и Ī2m, суммируем их и находим искомый Ī3m:

Векторы синусоидальных токов

Если бы угол b треугольника оab был прямой, то протяженность ab выражала бы длину вектора I2m. Тогда можно бы было найти его сторону по двум известным через теорему Пифагора:

   I3m=√(I1m2+I2m2).

В нашем случае приходится использовать теорему косинусов. Она позволяет определить косинус вектора I3m разностью косинусов векторов I1m и I2m с учетом знаков, а по значению косинуса вычислить угол 55,5° и длину вектора. В нашем случае она равна 5,74А.

3-й способ основан на решении той же символическим методом. Для этого надо записать формулами комплексные амплитудные значения всех известных величин:

   İ1m=5ej24°=5(cos24°+jsin24°)=4,568+j∙2,034 A;
   İ2m=3ej116°=3(cos116°+jsin116°)=-1,315+j∙2,696 A.

Применяем 1-й закон Кирхгофа для расчета третьего тока в символической форме:

   İ3m1m2m=(4,568-1,315)+J(2,034+2,696)=3,253+j∙4,73=5,74 ej55,5° А.

Модуль 5,74 равен амплитуде искомого тока, а его аргумент 55,5° – углу отсчета (величине) начальной фазы.

Чтобы определить действующие значения (в виде показаний амперметров) для каждой цепи надо перейти к выражению действующих значений, по которым работают приборы электромагнитных систем.

   I1=I1m/√2=5/√2=3,541;
   I2=I2m/√2=3/√2=2,125;
   I3=I3m/√2=5,74/√2=4,065.


Подведем итоги. Данные вычисления наглядно демонстрируют, что простое арифметическое сложение первых двух синусоидальных токов не позволяет точно определить значение третьего и создает большую погрешность. Для сложения гармоник синусоид действуют более сложные, описанные выше правила.

После проведения расчетов по 3-м способам можно сделать вывод о громоздкости 1-го, сложности вычисление и манипуляции с синусоидами. Поэтому им пользуются довольно редко.

2-й метод более удобен для простых задач, а 3-й позволяет рассчитывать линейные цепи любой степени сложности.






Теоретическая электротехника