Новые статьи

Как устроена и работает светодиодная люстра с дистанционным пультом: опыт ремонта своими руками
Как выбрать лампы освещения для дома
Как прозвонить электрическую цепь тестером, мультиметром

Метод контурных токов для расчета сложных электрических цепей


Теоретическая электротехника





Расчет сложных электрических цепей давно перестал составлять трудности не только для специалистов, но и для большинства более успевающих студентов электротехнических ВУЗов и техникумов.

В настоящее время разработаны программы с графическим интерфейсом, позволяющие буквально за несколько минут рассчитать самую сложную цепь и определить все ее параметры.

Однако, в основе программных и "ручных" расчетов лежат методы, разработанные достаточно давно. Эти методы основаны на основных законах электротехники: прежде всего, на законах Ома и Кирхгофа. Одним из наиболее популярных методов расчета сложной цепи является метод контурных токов (далее - КТ). Поговорим о нем подробнее.

Основу метода КТ составляет предположение о том, что по каждому замкнутому контуру сложной цепи протекает некий свой КТ. Этот ток, хотя его и можно объявить воображаемым, все же подчиняется известным нам законам: имеет постоянную величину на протяжении всего контура, создает падение напряжения на каждом элементе.

Естественно, в некоторых ветвях цепи будут пересекаться два разных КТ. В таком случае, ток этой ветви будет найден как алгебраическая сумма этих КТ. Ну а в тех ветвях, где протекает всего один КТ, он и будет определять величину тока.

Таким образом, для решения задачи методом КТ нам необходимо задаться в каждом контуре своим КТ с произвольным направлением, чаще всего, совпадающим с направлением хода часовой стрелки.

Обычно, контуры нумеруются цифрами в порядке от единицы и далее. КТ обозначаются индексом с двойным указанием номера контура, например, I11, I22 и так далее. Это делается для того, чтобы впоследствии не перепутать их с токами в ветвях, которые обозначаются одиночным индексом с номером ветви: I1, I2.

После обозначения КТ и присвоения им направления в действие вступает второй закон Кирхгофа. Сумма падений напряжения в каждом контуре равна сумме ЭДС. А падения напряжения находятся как произведение КТ на сопротивление элемента цепи.

Причем, если направление КТ совпадает с направлением обхода контура, то значение падения напряжения, вызванного этим током, принимается положительным, а если не совпадает – отрицательным.

Та же ситуация и со знаком при ЭДС, имеющихся в контуре и располагающихся в правой части равенства по закону Кирхгофа: если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то она положительная, а если не совпадает – отрицательная.

Итак, мы получаем уравнения для каждого контура. Число этих уравнений равно числу КТ, то есть числу неизвестных. А это значит, что мы получаем систему уравнений, решить которую можно любым известным способом: методом подстановки, либо методом Гаусса.

Главное, что в итоге мы получим значения КТ. Причем, если какие-то из этих значений окажутся отрицательными, то это просто значит, что изначально мы задались неверным направлением для этого КТ.

Токи в ветвях найдутся уже именно как суммы КТ, протекающих в этих самых ветвях. Проверку можно выполнить по первому закону Кирхгофа: сумма токов в каждом узле цепи должна быть равна нулю.


Пример решения. Ниже приведем элементарный пример решения сложной цепи по методу КТ.

Пример схемы сложной электрической цепи

Видно, что в примере есть два контура: 1 и 2. И есть два КТ I11 и I22. Составляем систему уравнений для первого и второго контуров соответственно:

   I11(R1+Ri1+R3)–I22R3=E1;
   – I11R3+I22(R2+Ri2+R3)=–E2

Решаем эту систему, скажем, методом подстановки:

Из первого уравнения: I11=(I22R3+E1)/(R1+Ri1+R3);

Из второго уравнения: – ((I22R3+E1)/(R1+Ri1+R3))R3+I22(R2+Ri2+R3)=–E2;

Или: I22(R2+Ri2+R3)–(I22R32)/(R1+Ri1+R3)–(E1R3)/(R1+Ri1+R3)=–E2.

После расчетов получаем выражение:

   I22(R2+Ri2+R3–(R32)/(R1+Ri1+R3))=(E1R3)/(R1+Ri1+R3)–E2.

Находим I22:

   I22=((E1R3)/(R1+Ri1+R3)–E2)/(R2+Ri2+R3–(R32)/(R1+Ri1+R3)).

Полученное значение подставляем в выражение I11=(I22R3+E1)/(R1+Ri1+R3) и находим I11. Далее находим значения токов в ветвях:

   I1=I11;
   I2=I22;
   I3=I11+I22.






Теоретическая электротехника