Метод контурных токов для расчета сложных электрических цепей

Расчет сложных электрических цепей давно перестал составлять трудности не только для специалистов, но и для большинства более успевающих студентов электротехнических ВУЗов и техникумов.

В настоящее время разработаны программы с графическим интерфейсом, позволяющие буквально за несколько минут рассчитать самую сложную цепь и определить все ее параметры.

Однако, в основе программных и "ручных" расчетов лежат методы, разработанные достаточно давно. Эти методы основаны на основных законах электротехники: прежде всего, на законах Ома и Кирхгофа. Одним из наиболее популярных методов расчета сложной цепи является метод контурных токов (далее - КТ). Поговорим о нем подробнее.

Основу метода КТ составляет предположение о том, что по каждому замкнутому контуру сложной цепи протекает некий свой КТ. Этот ток, хотя его и можно объявить воображаемым, все же подчиняется известным нам законам: имеет постоянную величину на протяжении всего контура, создает падение напряжения на каждом элементе.

Естественно, в некоторых ветвях цепи будут пересекаться два разных КТ. В таком случае, ток этой ветви будет найден как алгебраическая сумма этих КТ. Ну а в тех ветвях, где протекает всего один КТ, он и будет определять величину тока.

Таким образом, для решения задачи методом КТ нам необходимо задаться в каждом контуре своим КТ с произвольным направлением, чаще всего, совпадающим с направлением хода часовой стрелки.

Обычно, контуры нумеруются цифрами в порядке от единицы и далее. КТ обозначаются индексом с двойным указанием номера контура, например, I₁₁, I₂₂ и так далее. Это делается для того, чтобы впоследствии не перепутать их с токами в ветвях, которые обозначаются одиночным индексом с номером ветви: I₁, I₂.

После обозначения КТ и присвоения им направления в действие вступает второй закон Кирхгофа. Сумма падений напряжения в каждом контуре равна сумме ЭДС. А падения напряжения находятся как произведение КТ на сопротивление элемента цепи.

Причем, если направление КТ совпадает с направлением обхода контура, то значение падения напряжения, вызванного этим током, принимается положительным, а если не совпадает – отрицательным.

Та же ситуация и со знаком при ЭДС, имеющихся в контуре и располагающихся в правой части равенства по закону Кирхгофа: если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то она положительная, а если не совпадает – отрицательная.

Итак, мы получаем уравнения для каждого контура. Число этих уравнений равно числу КТ, то есть числу неизвестных. А это значит, что мы получаем систему уравнений, решить которую можно любым известным способом: методом подстановки, либо методом Гаусса.

Главное, что в итоге мы получим значения КТ. Причем, если какие-то из этих значений окажутся отрицательными, то это просто значит, что изначально мы задались неверным направлением для этого КТ.

Токи в ветвях найдутся уже именно как суммы КТ, протекающих в этих самых ветвях. Проверку можно выполнить по первому закону Кирхгофа: сумма токов в каждом узле цепи должна быть равна нулю.

Пример решения. Ниже приведем элементарный пример решения сложной цепи по методу КТ.

Видно, что в примере есть два контура: 1 и 2. И есть два КТ I₁₁ и I₂₂. Составляем систему уравнений для первого и второго контуров соответственно:

   I₁₁(R₁+R_i1+R₃)–I₂₂R₃=E₁;
   – I₁₁R₃+I₂₂(R₂+R_i2+R₃)=–E₂

Решаем эту систему, скажем, методом подстановки:

Из первого уравнения: I₁₁=(I₂₂R₃+E₁)/(R₁+R_i1+R₃);

Из второго уравнения: – ((I₂₂R3_{+E1)/(R1+Ri1+R3))R3+I22(R2+Ri2+R3)=–E2;}

Или: I₂₂(R₂+R_i2+R₃)–(I₂₂R₃²)/(R₁+R_i1+R₃)–(E₁R₃)/(R₁+R_i1+R₃)=–E₂.

После расчетов получаем выражение:

   I₂₂(R₂+R_i2+R₃–(R₃²)/(R₁+R_i1+R₃))=(E₁R₃)/(R₁+R_i1+R₃)–E₂.

Находим I₂₂:

   I₂₂=((E₁R₃)/(R₁+R_i1+R₃)–E₂)/(R₂+R_i2+R₃–(R₃²)/(R₁+R_i1+R₃)).

Полученное значение подставляем в выражение I₁₁=(I₂₂R₃+E₁)/(R₁+R_i1+R₃) и находим I₁₁. Далее находим значения токов в ветвях:

   I₁=I₁₁;
   I₂=I₂₂;
   I₃=I₁₁+I₂₂.